È questa la domanda che travolge la filosofia nel V secolo a.C. Ma da dove sorge questo quesito? E perché una domanda talmente banale si dimostra in realtà paradossale? Come vengono risolti questi paradossi?
Aristotele distingue l’infinito per divisibilità e l’infinito per estensione, lo spazio si può dividere infinitamente solo in potenza nella mente. Il tempo si può dividere infinitamente, ma non è composto da singoli istanti indivisibili. Movimento e tempo sono continui in atto.
Archimede tratta la somma infinita di termini sempre più piccoli mediante processi geometrici, dimostrando come la somma totale converge verso un numero finito. Si può considerare il precursore della matematica dei limiti.
Bertrand Russell, filosofo e matematico di venticinque secoli dopo, sviluppa la teoria at-at del moto: essere in movimento significa trovarsi in un punto X nel tempo T1 e in un punto Y nel tempo T2, dunque trovarsi in punti diversi in tempi diversi.
Gli eleati
Il filosofo Parmenide afferma che: “L’essere è e non può non essere, il non essere non è e non può essere”. Pare una tautologia, qualcosa che è vero per semplice logica, ovviamente ciò che è non può non essere e viceversa! Ma questo ha numerose implicazioni: l’essere dev’essere eterno, immutabile, immobile e unico. Ma noi chiaramente vediamo cose che non sono eterne, che sono soggette al mutamento, sono molteplici e in movimento.
Il filosofo Parmenide afferma che: “L’essere è e non può non essere, il non essere non è e non può essere”. Pare una tautologia, qualcosa che è vero per semplice logica, ovviamente ciò che è non può non essere e viceversa! Ma questo ha numerose implicazioni: l’essere dev’essere eterno, immutabile, immobile e unico. Ma noi chiaramente vediamo cose che non sono eterne, che sono soggette al mutamento, sono molteplici e in movimento.
Ecco che spunta Zenone di Elea, discepolo di Parmenide che vuole utilizzare la dimostrazione per assurdo (ovvero mostra come, affermando il contrario di ciò che si vuole dimostrare, si cade in contraddizione) per provare che il movimento sia impossibile. Formula una serie di paradossi che per millenni (e tuttora) sono rimasti contraddittori.
Ipotizziamo una gara tra il piè veloce Achille e una tartaruga. Quest’ultima ha un vantaggio di un piede. Per poter raggiungere la tartaruga, Achille dovrebbe percorrere quel piede, ma la tartaruga avrebbe già fatto un passo in avanti. Dunque Achille dovrebbe percorrere quella nuova distanza, ma la tartaruga avrebbe fatto un altro passo avanti, che Achille dovrebbe ancora percorrere, e così via all’infinito. Pertanto Achille non raggiungerà mai la tartaruga, anche se la gara fosse senza termine.
Ipotizziamo di scoccare una freccia. Premettiamo che se un corpo occupa spazio identico pari alla sua lunghezza, è fermo. Il tempo di volo della freccia si può suddividere in singoli istanti: in ciascuno di questi istanti apparirà ferma, occuperà lo stesso spazio, ma se lo è nel singolo istante lo sarà per l’intero volo, dunque la freccia è ferma.
Paradosso delle masse nello stadio
Ipotizziamo tre corpi in uno stadio. A e B si muovono lungo la stessa direzione in versi opposti ad una certa velocità (ad esempio 10 km/h), mentre C è immobile. Dal punto di vista di C, il corpo A si muoverà a 10 km/h, mentre dalla prospettiva di B la velocità di A sarà 20 km/h, ma è impossibile che una velocità (non nulla) sia uguale al suo doppio. Il movimento non può esistere.
Soluzioni
Sono varie le soluzioni date nel tempo ai vari paradossi:
Diogene il Cinico, secondo alcune fonti, non disse nulla; semplicemente si alzò e camminò, per dimostrare la falsità delle argomentazioni contro il movimento.Paradosso dello stadio
Ipotizziamo di trovarci in un prato nel punto A, dobbiamo percorrere uno stadio (unità di misura greca tra i 170 e i 210 metri circa) per raggiungere il punto B. Per percorrere la distanza AB, dovremmo prima percorrere la sua metà AC, di mezzo stadio. Per percorrere AC, dovremmo percorrere la sua metà AD, e così via infinitamente. Più grande è il numero di divisioni, più piccolo diventa il segmento da percorrere, fino a diventare zero. Non si può percorrere dunque alcun tragitto, poiché bisognerebbe prima percorrere la metà della metà della metà… del tragitto, che è uguale a 0.
Ipotizziamo di trovarci in un prato nel punto A, dobbiamo percorrere uno stadio (unità di misura greca tra i 170 e i 210 metri circa) per raggiungere il punto B. Per percorrere la distanza AB, dovremmo prima percorrere la sua metà AC, di mezzo stadio. Per percorrere AC, dovremmo percorrere la sua metà AD, e così via infinitamente. Più grande è il numero di divisioni, più piccolo diventa il segmento da percorrere, fino a diventare zero. Non si può percorrere dunque alcun tragitto, poiché bisognerebbe prima percorrere la metà della metà della metà… del tragitto, che è uguale a 0.
Paradosso di Achille e la tartaruga
Paradosso della freccia
Paradosso delle masse nello stadio
Ipotizziamo tre corpi in uno stadio. A e B si muovono lungo la stessa direzione in versi opposti ad una certa velocità (ad esempio 10 km/h), mentre C è immobile. Dal punto di vista di C, il corpo A si muoverà a 10 km/h, mentre dalla prospettiva di B la velocità di A sarà 20 km/h, ma è impossibile che una velocità (non nulla) sia uguale al suo doppio. Il movimento non può esistere.
Soluzioni
Sono varie le soluzioni date nel tempo ai vari paradossi:
Aristotele distingue l’infinito per divisibilità e l’infinito per estensione, lo spazio si può dividere infinitamente solo in potenza nella mente. Il tempo si può dividere infinitamente, ma non è composto da singoli istanti indivisibili. Movimento e tempo sono continui in atto.
Archimede tratta la somma infinita di termini sempre più piccoli mediante processi geometrici, dimostrando come la somma totale converge verso un numero finito. Si può considerare il precursore della matematica dei limiti.
Bertrand Russell, filosofo e matematico di venticinque secoli dopo, sviluppa la teoria at-at del moto: essere in movimento significa trovarsi in un punto X nel tempo T1 e in un punto Y nel tempo T2, dunque trovarsi in punti diversi in tempi diversi.
Cosa ci ha lasciato Zenone?
L’eredità di Zenone di Elea non è nulla di banale. Egli può essere considerato uno dei precursori del calcolo infinitesimale, oltre ad aver condotto alla riflessione molti filosofi (e non solo) rispetto a due questioni:
L’eredità di Zenone di Elea non è nulla di banale. Egli può essere considerato uno dei precursori del calcolo infinitesimale, oltre ad aver condotto alla riflessione molti filosofi (e non solo) rispetto a due questioni:
- cosa sono lo spazio ed il tempo?
- sono continui o discreti?
Pare evidente che il movimento esiste: io cammino, l’auto va avanti, la Terra stessa orbita attorno al Sole, ma talvolta è opportuno mettere in dubbio l’apparenza: possiamo mai conoscere la realtà oltre l’apparenza? Il noumeno?
Le risposte a questo quesito sono tra le più varie, ma è importante questo: mai fidarsi di ciò che si ha davanti, la realtà è spesso ben lontana dalla sensibilità.
Jacopo Parissenti (3ALAV)